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Phi es un número irracional (no se puede obtener como división de dos enteros) como Pi o e, pero a diferencia de éstos no es un número trascendente, esto quiere decir que se puede obtener como solución a una ecuación.
Esta ecuación se obtiene de la definición de media y extrema razón:
"Una recta está dividida en extrema y media razón cuando la recta es al segmento mayor lo que éste es al menor."
Los Elementos, libro II, proposición 11. Euclides.
Veremos ahora como esta definición
nos lleva a 
Supongamos un segmento dividido en dos partes, x la primera y 1, por comodidad, la segunda. Vamos entonces a calcular qué valor debe tener x para que sea la sección áurea del segmento
Según la definición de Euclides, se tiene:
Esta ecuación tiene como raíces:
y 
La solución positiva es Phi,
la negativa es el recíproco de Phi y se denomina con la letra 
, obsérvese que la solución negativa
es la parte decimal de la positiva.
Este número tiene numerosas propiedades matemáticas, como ejemplo daremos dos de ellas:
Si consideramos como: 
podemos despejar
y queda:
Sustituyendo en
la expresión queda:
Esto se conoce como la fracción continua.
Si consideramos la ecuación
original 
despejando el término
cuadrático y tomando raíces
cuadradas, tenemos 
Sustituyendo tenemos:
Esto es la raíz continúa.
En estas últimas dos expresiones
se observa que es un número con infinitos decimales.
El rectángulo áureo es aquél
en el que la relación entre ancho y alto está en la relación 
Su construcción gráfica se ha descrito anteriormente y sus implicaciones en el arte y la arquitectura ya se ha visto que han sido ampliamente usadas desde la antigüedad.
Pasaremos ahora a ver la
relación de con las espirales de la naturaleza.
Para ello nos remontaremos al año 1202 en el que un matemático publicó un libro titulado Liber Abacci.
Se llamaba Fibonnaci y se le considera como el más gran matemático de la Edad Media.
Fibonacci realmente se llamaba Leonardo de Pisa. El nombre de Fibonacci deriva de 'hijo de Bonaccio', un rico comerciante de Pisa.
En este libro aparte de describir nuestro sistema actual de sumar, restar, multiplicar y dividir, Fibonacci planteó un curioso problema:
Tenemos una pareja de conejos, si, en cada parto obtenemos una nueva pareja y cada nueva pareja tarda un mes en madurar sexualmente y el embarazo dura un mes, ¿Cuantas parejas tendremos en 12 meses?
La respuesta es que mes a mes tendremos la siguiente serie de parejas:
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377
El 1 es la pareja inicial y el dos corresponde a las parejas que tenemos en el primer mes.
Esta serie se denomina de Fibonacci, en ella cada término es la suma de los dos anteriores, por supuesto es ilimitada.
La sucesión de Fibonacci tiene muchas propiedades curiosas, he aquí alguna de ellas.
- La suma de los n primeros términos es: a1 + a2 +... + an = an+2 – 1
- La suma de los términos impares es: a1 + a3 +... + a2n-1 = a2n
- La suma de los términos pares es: a1 + a4 +... + a2n = a2n+1 – 1
- La suma de los cuadrados de los n primeros términos es: a12 + a22 +... + an2 = anan+1
- Si n es divisible por m entonces an es divisible por am
- Los números consecutivos de Fibonacci son primos entre si
La propiedad más curiosa
de esta sucesión es que el cociente de dos números consecutivos de la serie
se aproxima a la razón áurea. Esto es: an+1/an tiende
a 
¡¡ Nuevamente nos encontramos con !!
La naturaleza sigue en muchas ocasiones la serie de Fibonacci, como ejemplo mostramos la flor de la pasión cuyas hojas están dispuestas según esta serie.
Pero
aún no hemos construido ninguna 
espiral, vamos a por ello.
Podemos hacer un dibujo en el que coloquemos cuadrados cuyo lado se incremente según la serie de Finobacci, los cuadrados los colocaremos de forma que el lado mayor del siguiente coincida con los lados de los cuadrados anteriormente colocados.
El conjunto con los primeros 7 términos es como se muestra en la figura.
Si ahora trazamos un semicírculo en cada cuadrado con centro en un vértice y los unimos queda lo siguiente:
Esto es una buena aproximación a las espirales naturales.
Cada radio es 1.618 veces el anterior, o sea que volvemos a encontrar el número áureo.
Recordemos al nautilo.
Realmente la espiral del nautilo es una espiral llamada equiangular o logarítmica, pero la aproximación por la serie de Fibonacci es de una gran precisión.
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